Josep Maria Albaigès i Olivart - ABEL-GALOIS: DOS VIDAS, UN DESTINO

 

L’éternel cyprés m’environn.

Plus pâle que le pâle automne

Je m’incline vers le tombeau.

E. Galois. Anotado en el  margen de su último escrito (30.05.1829).

 

 

Las biografías de los matemáticos Abel y Galois (respectivamente en los gráficos) llaman la atención pos su paralelismos. Ambos murieron jóvenes (Abel a los 27 años, Galois a los 22, en duelo), y ambos contribuyeron a despejar uno de los enigmas más tenazmente perseguidos por los matemáticos desde la edad media: la resolución de ecuaciones.

Las fórmulas para la resolución de las ecuaciones de primer y segundo grado eran conocidas desde antiguo:

 

Primer grado:

Ecuación:

Fórmula:

 

Segundo grado:

Ecuación:

Fórmula:

 

Cuadro de texto:  Cuadro de texto:  La ecuación de tercer grado, ax3 + bx2 + cx + d = 0, era ya harina de otro costal, y tuvo ocupados a los matemáticos medievales. Hasta principios del siglo XV no fue resuelta por Scipion del Ferro, un profesor de la universidad de Boloña, quien la mantuvo en secreto, reservándola como arma contra sus adversarios en las disputas científicas, tan en boga en la época. Al final de sus días comunicó su secreto a su pariente y heredero en el cargo Annibal della Nave y a su alumno Fiore.

Se preparaba para 1535 uno de estos duelos científicos, y el matemático Niccolò de Cusa (1500-1557), apodado Tartaglia (tartamudo), deseaba tomar parte en él, aun conociendo que Fiore poseía el secreto. Tartaglia realizó la hazaña de redescubrir la ecuación. En terminología moderna, el sistema, vigente hoy, consistía en realizar el cambio de incógnita y = x - b/3, con lo que la ecuación tomaba la forma y3 + py + q = 0. Seguidamente se hacía y = u+v, imponiendo a estas subincógnitas la condición de que uv = - p/3. Fácilmente se llegaba a la imponente fórmula de resolución:

 

 

Las ecuaciones cúbicas fueron estudiadas más tarde por Gerolamo Cardano (1501-1576), cuyo nombre, injustamente, lleva la fórmula anterior, pues fue publicada finalmente por dicho matemático tras haber arrancado su secreto al desconfiado Tartaglia. De hecho, el mismo Cardano incluyó en su mismo libro la resolución de las ecuaciones de cuarto grado, ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, por un sistema análogo aunque todavía más complejo, en que se efectuaba primero el cambio y = x - b/4, para tomar luego unas variables auxiliares y = u + v + w, que sometidas a un tratamiento análogo al anterior acababan resolviendo la ecuación. Por kilométrica no reproducimos aquí la fórmula.

La cosa marchaba, y los matemáticos no tardaron en emprender intentonas para resolver la “ecuación general”, a1xn + a2xn-1 +...+ an = 0, y aquí se estrellaron todos. Algunos, más modestos, retrocedieron y se limitaron a la de quinto grado, pero tampoco hubo forma. ¿Sería la ecuación irresoluble? Esta pregunta planeó mucho tiempo sobre la Matemática.

Hubo que esperar al advenimiento de un genio como el noruego Niels Henrik Abel (1802-1829), cuya corta vida fue tan fecunda que se ganó un lugar entre los mejores matemáticos del siglo XIX. Pero también fue marcada por la tragedia: para editar su obra, Abel, cargado de estrecheces económicas, tuvo que privarse de lo más necesario e incluso suprimir algunas proposiciones para que todo cupiera en un pliego. De hecho, las penurias de Abel fueron clave para acortar su vida.

Para comprender bien el planteamiento del problema, hay que definir bien qué entendemos por “resolver una ecuación”. En realidad esto equivale a hallar una relación funcional entre x y los coeficientes, o sea:

 

 

Esta relación funcional claro es que existe siempre (podemos, por ejemplo, calcular la incógnita x mediante aproximaciones), pero lo que implícitamente suponían los matemáticos es que sería de tipo algebraico, es decir, formada por las variables enlazadas de forma más o menos complicada y por supuesto con un número finito de pasos mediante las cuatro reglas aritméticas, potencias y raíces, como hemos visto en las ecuaciones resolventes anteriores. Definida así una función algebraica, Abel mostró que si una función de ese tipo consta de cinco variables no es posible que tome  tres o cuatro valores diferentes, lo que se contradecía con el hecho conocido de que, en general, una ecuación de n-simo grado posee n soluciones distintas en el campo real. Quedaba así demostrado que ninguna expresión en radicales podía ser expresión universal de las raíces de la ecuación de quinto grado o superiores.

El sueño de varios siglos se derrumbaba estrepitosamente: ¡no era posible resolver ecuaciones de quinto grado! Pero al menos los matemáticos ya sabían desde ese momento que los esfuerzos que dedicaran a esa empresa eran tiempo perdido. Con todo, quedaba en pie una pregunta: ¿sería posible discriminar entre las ecuaciones resolubles en radicales y las no resolubles? Pues estaba claro que muchas sí lo eran (por ejemplo la ecuación x5 - 3x4 - 8x3 +28x2 -9x -9 = 0 tiene las cinco soluciones x1 =1; x2 = 3; x3 = -3; x4 = 1 + Ö2; x5 = 1 - Ö2).

Correspondería al francés Evariste Galois (1811-1832) cerrar con broche de oro este capítulo de las matemáticas respondiendo esta pregunta. Lo hizo en circunstancias que calificaríamos de  novelescas de no ser trágicas. Inmerso en las tensiones de la candente política de sus días, fue retado a duelo por dos provocadores, que consumaron con él un asesinato “legal”. La noche antes de su fatal duelo, en previsión de su desenlace, escribió sus hallazgos, que mandó a su amigo O. Chevalier, quien se encargaría de su publicación.

Galois definió la “región de racionalidad” de la ecuación de n-simo grado, es decir, la totalidad de funciones racionales de los coeficientes, que llamó R(a1,a2,…an). R es lo que hoy llamamos un “campo”, es decir, que las operaciones aritméticas entre dos de sus elementos producen un tercer elemento perteneciente al mismo conjunto. Galois demostró que para cada ecuación P(x) = 0 se puede hallar otra ecuación Q(x) = 0, denominada normal, tal que las raíces de la primera se expresan racionalmente a través de las de la segunda. Todas las sustituciones de raíces en una ecuación normal forman un grupo G, el llamado grupo de Galois en la ecuación Q(x) = 0, o sea también de la P(x) = 0.

Las ecuaciones algebraicas no tienen la propiedad de poder ser así expresadas. Por eso esas ecuaciones en generales no son resolubles, y las que lo son, igualmente lo es la Q.

Galois definió conceptos tan actuales como el grupo. Su idea del estudio de la estructura de los campos algebraicos y la comparación con ellos de la estructura de un número finito de sustituciones fue la base fructífera del álgebra moderna.

 

                                                                                     Josep M. Albaigès

                                                                                     Salou, sep 1999

 

La dirección electrónica de Josep Maria Albaigés es : foni04@yahoo.com

 

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