Josep Maria Albaigès i Olivart
ESTUDIO DE LA MARTINGALA Y DE LA MARTINGALITA
La dirección electrónica de Josep Maria Albaigés es : foni04@yahoo.com
Introducción
según el cálculo de probabilidades
Llamamos esperanza matemática S de un premio a la
cuantía de éste Z multiplicada por la probabilidad de alcanzarlo p, o sea
S = pZ. La esperanza matemática representa la fracción del premio
que por término medio se gana cada
vez que se participa en el juego.
En todo juego de azar equilibrado
(sin ventajas para nadie), las esperanzas matemáticas de los jugadores (incluida
la banca) deben ser iguales a las respectivas puestas. La razón de esta ley
es obvia: por término medio, el jugador ganará una fracción de veces igual
a p, y perderá las restantes. Si la apuesta en cada una era A, a cambio de
este valor que se entrega se adquiere, por término medio, la ganancia, S.
Luego A = S = pZ.
En los juegos con banca organizada,
la condición anterior no se cumple nunca. La esperanza es inferior a la apuesta
para el jugador, S < A, y superior para la banca, Sb > Ab. Por tanto, en cada jugada,
la ganancia media del jugador es S - A < 0, o sea pérdida.
Un caso típico es la ruleta.
Jugando a un solo número, el premio son 36 veces la puesta. Pero, puesto que
entre los posibles resultados existe el cero, la probabilidad del jugador
es p = 1/37. La esperanza matemática es S = 36A/37 =
0,973A. El cociente S/A representa, pues, el “retorno medio” de la
apuesta unidad.
Otros juegos son mucho más
desequilibrados que la ruleta. En las carreras de galgos, S/A = 0,80, puesto
que se reparte en premios el 80 % de la recaudación. En las quinielas y en la
lotería nacional, S/A = 0,55. Y en muchas rifas este cociente alcanza unos
valores tan bajos que ningún jugador mínimamente avisado debiera participar
jamás en ellas.
La
martingala
La llamada “martingala”, supuesta
fórmula para ganar siempre en los juegos de azar, consiste en ir aumentando
la apuesta según un ritmo dado en caso de pérdida para compensar, con la futura
ganancia, las cantidades perdidas hasta el momento. En una palabra, en
ir aumentando la cantidad que arriesgamos.
Fijemos las ideas con un ejemplo.
Sea el juego de azar más sencillo, a cara o cruz. Apostemos 1 Euro a la Cara. Si sale, hemos ganado 1 €. Si
no, apostaremos 2 €. Perdemos otra vez: muy bien, no importa, apostemos 4
€. Y si ciertamente estamos de mala suerte y volvemos a perder, apostemos
8 €. Esta vez la suerte nos es favorable y sale C. Ganamos 8 €. Como en las
cuatro jugadas anteriores habíamos perdido 1 + 2 + 4 = 7 €, todavía ganamos
1 €.
Es decir: considerando dividido
el juego en “rachas” terminadas por C, en cada “racha” ganamos 1 E. Por ejemplo,
sea la sucesión: C++C+C+CC+++CC+C+C+C+C+++CC+CC+C C+CCC+C. Si la escribimos
así: (C)(++C)(+C)(+C)(C)(+++C)(C)(+C)(+C)(+C)(+C)(+++C) (C)(+C)(C)(+C)(C)(+C)(C)(C)(+C),
fácilmente vemos que se ganan 21 €, uno por cada paréntesis.
Si este sistema es tan infalible,
¿cómo no se arruinan los casinos? En realidad, si nos presentamos en uno de
ellos y jugamos según esta técnica, seremos tan bienvenidos como los restantes
“incautos” clientes. ¿Por dónde falla la martingala?
Lo que ocurre es que nosotros
jugamos con una banca limitada B, siempre inferior a la del casino. Si, para
simplificar, convenimos en que B = 2N, eso es tanto como decir
que podemos resistir una “racha” negativa de longitud máxima N. Si v. gr.
nuestra banca son 1024 E, una racha de 10 + seguidas nos produciría una pérdida
igual a esta cantidad, y ya no podríamos apostar en la siguiente tirada.
Ciertamente, la probabilidad
de que se presente esta racha es pequeña. Precisamente vale p = 1/2N,
es decir, que por término medio sólo se presentará una vez de cada 2N.
Pero observemos un hecho interesante: nuestra ganancia en cada “racha” ha
sido 1 E. La vez en que se presenta
la “racha fatídica” perdemos de un golpe todo lo atesorado pacientemente a
lo largo de las rachas anteriores. Los 1024 E se esfumarán en un momento,
destruyendo el trabajo de horas y horas.
En realidad, un teorema de
alcance más general afirma que en cualquier juego de azar equilibrado, a la larga gana siempre el
jugador que posee la mayor banca, o, mejor dicho, tiene una probabilidad mayor
de arruinar al contrario (¡puede resistir rachas más largas!). Y si esto ocurre
con los juegos equilibrados, ¿qué no será con la ruleta, que no lo es? En
efecto, la existencia en ella del cero hace que la probabilidad de ganar en una
apuesta a “rojo” o “negro” por ejemplo, no sea p = 0,50, sino p = 18/37 =
0,4865. Esta pequeña diferencia a favor del casino contribuirá a arruinarnos
más rápidamente[1].
Para ilustrar mejor lo
dicho, hemos efectuado con el ordenador un simulacro de partidas contra el
“Casino Informático” (prueba de Monte-Carlo). Vamos a
ver los resultados, en los siguientes supuestos:
· Llamaremos
“noche” a una sesión seguida de apuestas en el casino.
· En cada noche
empezamos con una banca de 1000 €.
· Jugamos 1 € a
Rojo, manteniendo fijo el valor si ganamos. Cada vez que perdemos doblamos la
apuesta (salvo si nuestra banca en ese momento no alcanza, entonces apostamos
el resto).
Realizaremos el estudio para
un número variable de “rachas” cada noche, llamando “racha” a una serie (que
puede ser nula) de negros coronada por un rojo. Nuestras ganancias/pérdidas
dependerán, a igualdad de los restantes factores, del número de “rachas” que
juguemos por noche.
|
NO. DE RACHAS POR NOCHE |
NOCHES CON PÉRDIDA |
NOCHES CON RUINA |
|
100 200 500 1000 2000 5000 |
6,1 % 9,8 % 21,1 % 40,2 % 49,3 % 64,5 % |
3,5 % 7,4 % 15,4 % 27,5 % 47,3 % 64,4 % |
Es decir, que, por ejemplo,
si jugamos 500 rachas por noche, en un 21,1 % de ellas acabaremos con pérdida.
En ellas están comprendidas el 15,4 % del total en que nos arruinaremos totalmente.
Observemos que la técnica de
la martingala, si es jugada unas pocas veces, casi nos garantiza una pequeña
ganancia, pero a costa de exponer muy poco todo nuestro capital. La jugada
sería comparable a apostar nuestra vivienda, que vale 100.000 €, contra 10
€ en un juego en el que nuestra probabilidad de ganar es p = 0,9999. Si jugamos
unas pocas veces, podemos está prácticamente seguros de ganar unos euros,
pero no dejaremos de haber expuesto toda nuestra vivienda. Más juegos similares:
podemos imaginar que practicamos parapente (una
pequeña probabilidad de perder nuestra vida contra el disfrute del deporte),
etc. ¿Sale a cuenta? Cada cual debe decidir para sí.
En realidad, la martingala
podría extenderse a juegos equilibrados con probabilidad distinta de ½. Por
ejemplo, para el juego de dados, en que p = 1/6, podríamos multiplicar la
puesta, en caso de pérdida, por un factor k, que deberíamos calcular en función
del número de jugadas en que recuperaríamos las pérdidas. El cálculo en este
caso bastante más complejo.
La
Martingalita
Prontamente reconocida la peligrosidad
de la martingala, el ingenio de los jugadores se ha centrado en disminuir
el ritmo de crecimiento de las apuestas en caso de pérdida para no exponer
tan fuertemente toda nuestra banca a la ruina. Naturalmente, esto se consigue
a costa de alargar el “tiempo de recuperación”. En todo caso, las leyes de
probabilidades se mantienen férreamente, y el resultado, a la larga, es perder.
Una versión atenuada de la
martingala, a la que llamaremos la martingalita, consiste en la siguiente estrategia de
apuestas:
Elegimos una serie de números consecutivos y apostamos una cantidad igual a la suma del primero y el último.
·
Si ganamos, tachamos esos números y apostamos otra
vez la suma del último y el primero.
·
Si perdemos, no tachamos ninguno, sino que añadimos
el siguiente de la serie que quede y seguimos apostando la suma del primero y
el último.
Veamos un ejemplo:
|
SERIE |
RESUL- TADO (G/P) |
APUESTA |
CAPITAL REMANENTE |
|
1-2-3-4-5-6-7-8 2-3-4-5-6-7 2-3-4-5-6-7-8 2-3-4-5-6-7-8-9 3-4-5-6-7-8 4-5-6-7 4-5-6-7-8 4-5-6-7-8-9 5-6-7-8 5-6-7-8-9 |
G P P G G P P G P G |
9 -9 -10 11 11 -11 -12 13 -13 14 |
9 0 -10 1 12 1 -11 2 -11 3 |
Más sencillamente: apostamos
la cantidad k, y la mantenemos mientras ganamos. En cuanto perdemos, a la
siguiente apuesta apostamos k+1. La progresión no es tan rápida, conque no
somos tan vulnerables a una racha negativa, pero el proceso de ganancia es
muy lento.
Veamos otro ejemplo de
simulación mediante el método de Monte-Carlo. En este
caso la apuesta inicial es 1 €, y se aumenta 0,2 € cada vez que se pierde.
|
NO. DE RACHAS POR NOCHE |
NOCHES CON PÉRDIDA |
NOCHES CON RUINA |
|
100 200 500 1000 |
47,1 % 51,0 % 48,8 % 64,2 % |
0,0 % 0,0 % 13,7 % 57,7 % |
Puede verse que el riesgo de
ruina total es más reducido, pero en cambio aumenta el de pérdida a lo largo de
la noche.
Existen numerosas variantes
de la martingalita, siempre basadas en reducir el
ritmo de aumento de apuestas en caso de pérdida. Por ejemplo, multiplicando
la puesta por 1,5 o un factor k menor que 2. En todo los casos el resultado
es el mismo: a la larga, se pierde siempre,
pues el jugador se enfrenta con una banca infinita.
Josep M. Albaigès
Barcelona, dic 98
[1] En algunos casinos, en las puestas a “rojo o negro”, “par o impar” y “pasa o falta” no se computa el resultado cero. Con ello el juego para éstas es equilibrado.